уравнения линий и поверхностей.

0,9 Mb.страница4/5Дата конвертации02.10.2011Размер0,9 Mb.Тип Смотрите также:       4   ^ Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат. Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы были компланарны. () = 0 Таким образом, Уравнение плоскости, проходящей через три точки: Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор . Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору .Векторы и вектор должны быть компланарны, т.е. () = 0 Уравнение плоскости: Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости. Пусть заданы два вектора и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны. Уравнение плоскости: Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид: A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0.Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение = 0Таким образом, получаем уравнение плоскости . Теорема доказана. Уравнение плоскости в отрезках.Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D) , заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z. Уравнение плоскости в векторной форме. где - радиус- вектор текущей точки М(х, у, z), - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат. , и - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z. p длина этого перпендикуляра. В координатах это уравнение имеет вид: xcos + ycos + zcos - p = 0. Расстояние от точки до плоскости.Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно: Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой: A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0. Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у z + 5 = 0. Вектор нормали к плоскости 3х + 2у z + 5 = 0 параллелен искомой плоскости. Получаем: Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z 3 = 0. Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11 2 + 7 1 - 2 4 + D = 0; D = -21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y 2z 21 = 0. Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Находим координаты вектора нормали = (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р: 16 + 9 + 144 + D = 0 D = -169 Итого, получаем искомое уравнение: 4x 3y + 12z 169 = 0 Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3), A3(2; 1; 1), A

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой